21点游戏的完整数学模型：从概率树到期望值全解析
21点（Blackjack）是少数几个可以用严格数学方式完整建模的赌场游戏。它的核心是一个有限状态的马尔可夫决策过程（Markov Decision Process），通过动态规划与巨量枚举可以计算出每一手牌的精确期望值（Expected Value, EV）。下面逐层拆解其数学框架。
一、游戏的基本状态空间
每一手牌的状态由三个变量唯一确定：
玩家的当前点数（Player’s Total）
- 硬牌（Hard）：4 ~ 21
- 软牌（Soft）：软12 ~ 软21（含A可当1或11）
- 已爆牌（Bust）：>21
- Blackjack（天然21）
庄家的明牌（Dealer’s Upcard）：2 ~ 10, J, Q, K, A
可行动选项（Actions）
- Hit（要牌）
- Stand（停牌）
- Double Down（加倍）
- Split（分牌，仅当点数相同）
- Surrender（投降，部分规则）
- Insurance（保险，当庄家明牌为A时）
总状态数（不考虑分牌）大约为：
- 玩家硬牌 18种（4 ~ 21）× 10种明牌 = 180
- 玩家软牌 10种（软12 ~ 软21）× 10 = 100
- 可分牌对 10种 × 10 = 100
- 特殊状态（已爆、Blackjack）
→ 总计约500 ~ 600个独立决策点
二、期望值的递归计算（动态规划核心）
21点的数学模型采用逆向归纳法（Backward Induction）从终端状态向前递推。
终端状态的即时回报（已知）
- 玩家爆牌 → EV = –1
- 玩家Blackjack且庄家非Blackjack → EV = +1.5
- 双方Blackjack → EV = 0（Push）
- 双方同点数且≤21 → EV = 0
- 玩家点数 > 庄家点数 → EV = +1
- 玩家点数 < 庄家点数 → EV = –1
庄家最终点数的分布（关键子程序）
对任意庄家明牌U，计算其最终点数分布P(dealer final = k | upcard = U)。
这是通过模拟庄家固定补牌规则（Hit ≤16, Stand ≥17）并枚举剩余牌堆得到的概率表。
示例：庄家明牌6的最终点数分布（8副牌，典型值）
| 庄家最终点数 | 概率 |
|---|
| 爆牌 | 42.08% |
| 17 | 13.52% |
| 18 | 13.48% |
| 19 | 13.44% |
| 20 | 13.40% |
| 21 | 4.08% |
单一步骤期望值计算公式
对于任意状态（玩家点数P, 庄家明牌U, 可行动A），要牌（Hit）的期望值：
EV_Hit(P,U) = Σ [概率抽到牌X] ×
┌───────────────────────────────────────┐
│ 如果 P+X >21 → –1 │
│ 如果 P+X ≤21 且可继续行动 → EV_best(P+X,U) │
│ 如果 P+X ≤21 且必须停牌 → EV_final(P+X,U)│
└───────────────────────────────────────┘
其中EV_best是该状态下所有行动中的最大值。
最终得到每一状态的最优策略与精确EV
通过迭代约10 ~ 20轮（因为最深补牌层数有限），即可收敛得到全表。
三、基本策略表的数学来源
著名的“基本策略图表”正是上述动态规划的输出结果。例如经典结论：
四、总期望值与庄家优势的精确计算
在无限副牌（Infinite Deck）近似下，或通过6 ~ 8副牌的组合数学枚举，可得到：
标准拉斯维加斯规则（8副牌，3:2 Blackjack，DOA，DAS，no RSA，Late Surrender）的精确值：
| 项目 | 期望值（每单位下注） |
|---|
| 初始发牌阶段EV | –0.00578 |
| 玩家最优策略总EV | –0.00432 |
| 庄家优势（House Edge） | 0.432% |
这意味着：严格执行基本策略的玩家，每下注100万元，理论长期亏损仅约4,320元。
五、算牌如何改变状态转移概率
算牌的核心是破坏“固定牌堆分布”假设。当True Count每上升+1：
- 剩余10与A比例上升 ≈ 0.5%
- 玩家Blackjack概率上升
- 庄家爆牌概率显著下降（因为少小牌）
- 玩家硬牌站牌策略价值剧增
经验证，True Count +1 时，玩家优势约增加 0.45% ~ 0.50%，从而实现优势逆转。
总结：21点的数学模型全景
- 状态空间：~ 600个决策点
- 核心算法：逆向动态规划 + 庄家点数分布子程序
- 输出：最优策略表 + 每状态精确EV
- 庄家原始优势：0.43% ~ 0.65%（规则而定）
- 通过策略与算牌，可将玩家优势推至 +2% 以上
21点之所以被誉为“唯一可长期战胜赌场的游戏”，正是因为它的数学模型足够透明、足够精确，让人类智慧得以对抗概率之神。
当你坐在牌桌前，真正与你对弈的不是庄家，而是这套冷酷而美丽的数学结构。
理解它，你就握住了21点真正的底牌。
